Matematika & IAD Minggu Ke 14

Proposisi

      Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value).

      Mengkombinasikan Proposisi

Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan  adalah dan (and),atau (or), dan tidak (not). Dua operator pertama dinamakan operator binerkarena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi, sedangkan  operator ketiga dinamakan operator uner karena ia hanya membutuhkan satu buah proposisi.

   Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakanproposisi majemuk (compound proposition). proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk ada tiga macam, yaitu konjungsi, disjungsi, dan ingkaran. Ketiganyadidefinisikan sebagai berikut:

DEFINISI. Misalkan  dan adalah proposisi. Konjungsi (conjunction) dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi p dan Disjungsi (disjunction)  dan , dinyatakan dengan notasi , adalah proposisi p atau Ingkaran atau (negation) dari , dinyatakan dengan p, adalah proposisi tidak p

Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya. Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik disebut juga ekspresi logika.

Contoh:

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p: Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

Maka

pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

p : Tidak benar hari ini hujan (atau dalam kalimat lain yang lebih lazim: Hari ini tidak hujan)

Tabel Kebenaran

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

1. Misalkan p dan q adalah proposisi.

• Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
• Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
• Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar jika p salah, dan sebaliknya Aljabar Proposisi

Hukum-Hukum Aljabar Proposisi (Aturan Penggantian)

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

    a. p∨q ek p

    b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

    a. (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

    b. (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

    a. p∨q ek q∨p

    b. p∧q ek q∧p

4. Hukum Distributif (Dist)

    a. p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

    b. p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

5. Hukum Identitas (Id)

    a. p∨F ek p

    b. p∨T ek T

    c. p∧F ek F

    d. p∧T ek p

6. Hukum Komplemen (Komp)

    a. p∨∼p ek T

    b. p∧∼p ek F

    c. ∼(∼p) ek p

    d. ∼T ek F

7. Hukum Transposisi (Trans)

    p⇒q ek ∼q⇒∼p

8. Hukum Implikasi (Imp)

    p⇒q ek ∼p∨q

9. Hukum Ekivalensi (Eki)

    a. p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

    b. p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

10. Hukum Eksportasi (Eksp)

      (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

11. Hukum De Morgan (DM)

       a. ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

       b. ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.
Beberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel nilai Kebenaran Negasi :

p	~P
b	S
S	B