Matematika & IAD Minggu ke 10

HIMPUNAN & BILANGAN

6.1 Pengertian, Penulisan dan Macam Himpunan

--->  Pengertian Himpunan  

Himpunan adalah adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

• Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan:

Kelompok hewan berkaki empat.

Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda, kambing

Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek, itik.

• Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan:

Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.

Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

Mengapa disebut begitu? karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam
Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.

---> Anggota Himpunan 

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z.  Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

 

Contoh  :

A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.

Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 6.

---> Macam-Macam Himpunan 

• Himpunan Bagian (Subset). 

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. Artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan. 

contoh : 

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka     B ⊂ A   

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya. 

• Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali. Dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

• Himpunan Semesta 

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan. 

contoh :

  Apabila kita membicarakan himpunan A {2,3,5,7}  maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah: 

U = himpunan bilangan cacah   

• Himpunan Berhingga 

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a ϵ bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

 contoh :

a. A = { } karena                   n(A) = 0, 0 ϵ bilangan cacah.

b. B = { 1, 2, 3 .... 75}          n(B) = 75, 75 ϵ bilangan cacah. 

• Himpunan Tak Berhingga

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.
contoh : 
Q = { 1, 2, 3, 4, ... }
Apabila kita menghitung anggota Himpunan Q maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) = ~.  

• Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.  

• Himpunan Lepas 

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama .

• Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan U ={1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}  
Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : 

A^C = {x│x Î U, x Ï A}  

• Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain. himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.
contoh :  

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4 
B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4 
Maka n (A) =n (B) →A≈B  


6.2  Diagram Venn 
Digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau hubungan antar himpunan.   

 

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram venn

---> Hubungan Antara Himpunan dengan Diagram Venn

1.     Irisan himpunan

A irisan B ditulis A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

2.     Gabungan Himpunan

A gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}

3.     Komplemen himpunan              

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x ∈ A} 

6.4. Himpunan Bilangan Bulat, Bilangan Rill dan Skemanya

Macam-Macam Bilangan 

1. BILANGAN RIIL (BILANGAN NYATA)

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

Contoh: {log 10, 5/8, -3, 0, 3,}

2. BILANGAN RASIONAL

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:

a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b ¹ 0.

Contoh: {0,-2, 2/7, 5, 2/11,…}

3. BILANGAN IRRASIONAL

Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat.

Contoh: {log 3, log 2,…}

4. BILANGAN BULAT

Bilangan bulat adalah bagian dari Bilangan Riil. Bilangan Bulat disebut juga bilangan utuh. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
Contoh = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

5. BILANGAN ASLI

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

Contoh = {1,2,3,4,5,6,......}

6. BILANGAN PRIMA

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

Contoh = {2,3,5,7,11,13,....}

(1 bukan bilangan prima karena hanya mempunyai satu faktor saja)

7. BILAGAN CACAH

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

Contoh = {0,1,2,3,4,5,6,....}

8. BILANGAN IMAJINER (BILANGAN KHAYAL)

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

Contoh: i, 4i, 5i

9. BILANGAN KOMPLEKS

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b adalah bilangan Riil , i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

Contoh: 2-3i, 8+2

10. BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan Komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.

Contoh: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}